從 GPS 衛星到 3D 遊戲圖學
從愛因斯坦彎曲時空到準晶體諾貝爾獎
最簡單的圖形，最深刻的宇宙秘密
親愛的同學，歡迎回來。如果你讀過上冊，你已經走過了「累加的力量」、「對應的奧秘」、「規則中的自由」這三段旅程。
下冊，我們要把目光轉向「圖形」── 三角形、平行線、四邊形。這些是你從小學就認識的「老朋友」，簡單到幾乎不值一提。但下冊的三章，將帶你看見它們背後跨越兩千年的故事與遍及世界的應用。
從三角形的基本性質出發，看這個「最簡單的封閉圖形」如何擁有五顆神奇的「心」、
隱藏著歐拉線的秩序，又如何撐起 GPS 定位、3D 遊戲、橋樑結構與整個宇宙的測量。
從平行線的簡單問題出發 ──「平行線會不會相交？」這個看似幼稚的問題，
困擾人類兩千年，最後打開了非歐幾何的大門，並抵達愛因斯坦彎曲的時空。
從平行四邊形出發，看它如何演化為向量（力的合成）、矩陣（圖形變換）、
再到平面密鋪的藝術，最後抵達潘洛斯磚與準晶體的諾貝爾獎傳奇。
和上冊一樣，本冊使用四種顏色的小框框幫助你閱讀。準備好了嗎？讓我們繼續這趟穿越數學宇宙的旅程。
想像你手上有一塊不規則的三角形厚紙板。如果你想用一根手指頂住它，讓它平衡不掉下來，你應該頂在哪個點？這個神奇的「平衡點」，數學上叫做「重心」── 它是三角形「五個神奇中心」之一。
三角形是最簡單的封閉圖形，但它一點也不簡單。本章我們要看：
三角形有五個重要的「中心」。神奇的是，每一個都是「三條特殊線」的交點，而且這三條線必定交於同一點！
| 心的名稱 | 由什麼線交會 | 特殊性質 |
|---|---|---|
| 內心 | 三條「角平分線」 | 內切圓的圓心，到三邊等距 |
| 外心 | 三條「邊的中垂線」 | 外接圓的圓心，到三頂點等距 |
| 重心 | 三條「中線」 | 物理平衡點，將中線分為 2:1 |
| 垂心 | 三條「高」 | 三條高的交點 |
| 旁心 | 一內角平分線 + 兩外角平分線 | 旁切圓的圓心（共三個） |
「三條角平分線交於一點」、「三條中線交於一點」── 這絕非理所當然！
任意畫三條線，它們通常會圍出一個小三角形，而不會剛好交於一點。
但三角形的這些特殊線，竟然每次都精準地交於一點。
這需要嚴格的數學證明，而希臘人兩千年前就證明了。
1. 在厚紙板三角形上，用尺規作出重心 G（三條中線交點）。
2. 用圖釘從 G 點穿過懸掛，或用筆尖頂住 G 點。
3. 觀察：三角形是否平衡？
重心 G 還會把每條中線分成 2:1（靠頂點那段是靠邊那段的兩倍長）。
● 汽車的重心位置決定它過彎時會不會翻車
● 飛機的重心位置影響飛行穩定性
● 火箭的重心是發射控制的關鍵
● 體操、跳水選手靠調整身體重心來完成動作
有趣的是，圖形對稱性越高，五心越靠近。正三角形的四心（內、外、重、垂）完全重合於中央一點；鈍角三角形的外心、垂心則會跑到三角形「外面」！
這條線叫「歐拉線」（Euler line），是 1765 年瑞士大數學家歐拉發現的驚人秩序。
請每個人畫一個「不規則」的三角形（每人形狀都不同）：
1. 用尺規作出外心 O（三邊中垂線交點）
2. 用尺規作出重心 G（三中線交點）
3. 用尺規作出垂心 H（三高交點）
4. 用直尺檢查：O、G、H 三點是否共線？
全班會驚奇地發現：無論三角形長什麼樣，這三點都共線！
更神奇的是：重心 G 把線段 OH 分成固定的 1:2 比例。
歐拉（Leonhard Euler, 1707-1783）是人類史上最多產的數學家，
一生發表近 900 篇論文。他發現歐拉線時已經 58 歲。
更驚人的是，他晚年雙眼失明，卻仍然靠心算與口述，持續發表大量論文。
這提醒我們：數學的洞察力，不會因為肉眼失明而消失，因為數學是用「心眼」看的。
歐拉線之後，數學家又發現了「九點圓」──
三邊中點（3 個）、三高垂足（3 個）、頂點到垂心連線中點（3 個），
這九個點竟然全部都在同一個圓上！
而且九點圓的圓心，恰好在歐拉線上，正好是外心 O 與垂心 H 的中點。
假設你是一位地主，有一塊三角形土地，只量出三邊長 13、14、15 公尺。沒有高，怎麼算面積？古希臘數學家海龍給了我們神奇的公式：
三邊長 a=13, b=14, c=15：
半周長 s = (13+14+15)/2 = 21
面積 = √[21 × 8 × 7 × 6] = √7056 = 84 平方公尺
不用知道高，也算出來了！
三角形面積有許多種算法：底×高÷2、海龍公式、½ab·sinC、坐標公式、abc/4R、rs。其中 sin C 是「三角函數」，是下一節的主題。
Google 地圖計算不規則土地面積時，會把它切成許多小三角形，
逐一計算面積再加總。這個技術叫「三角剖分」，是電腦圖學的基石。
那棵大樹有多高？不用爬上去 ── 只要量出距離與抬頭看樹頂的「仰角」，就能算出。這個魔法叫「三角學」。在直角三角形中定義：
| 角度 | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|
| 30° | 1/2 | √3/2 | 1/√3 |
| 45° | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 |
45° 時 tan = 1，所以對邊 = 鄰邊 ── 這就是為什麼仰角 45° 時，樹高等於距離！
sin²θ + cos²θ = 1
因為 sin θ = 對邊/斜邊，cos θ = 鄰邊/斜邊，
所以 sin²θ + cos²θ = (對邊²+鄰邊²)/斜邊² = 斜邊²/斜邊² = 1
原來這個三角恆等式，只是畢氏定理穿了新外衣！
餘弦定理 c² = a² + b² − 2ab·cosC 則是「廣義的畢氏定理」
（當 C = 90° 時退化成畢氏定理）。
● 聲波、光波、無線電波都是正弦波
● 家裡插座的交流電是正弦函數
● 心電圖、腦波圖、地震波都用三角函數描述
● 音樂的音高、潮汐的漲落、季節的變化
你的手機同時接收至少 4 顆衛星訊號。每顆衛星告訴手機「我距離你多遠」：
● 衛星 A → 你在以 A 為球心的球面上
● 衛星 B → 兩球面相交於一個圓
● 衛星 C → 縮小到兩個點 ● 第 4 顆 → 確定唯一位置
這個技術叫「三邊測量法」，本質上是三維空間的三角形定位。
19 世紀的測量員在地面選兩個基準點 A、B，量出 AB 距離（基線），
再分別在 A、B 測量看山頂的仰角。有了一條邊與兩個角（ASA），
整個三角形就確定了，山高也算出來了。
台灣的玉山高度（3952 公尺），最早就是用這種方法測出來的。
你玩的所有 3D 遊戲 ──《當個創世神》、《薩爾達傳說》──
裡面的每一個角色、建築、山，都是由成千上萬個「小三角形」拼成的（三角網格）。
為什麼是三角形？因為三角形的三個點「一定」在同一平面上，不會扭曲。
你的顯示卡每秒要計算數十億個三角形 ── 這就是好顯卡這麼貴的原因！
用冰棒棍與圖釘製作框架：
1. 做一個正方形框架，輕輕推一角 → 變形成平行四邊形，垮掉
2. 做一個三角形框架，用力推任一角 → 幾乎不變形！
結論：三角形是唯一「不會變形」的多邊形。
這就是為什麼橋樑、起重機、電塔、艾菲爾鐵塔都用三角形結構（桁架）。
1. 最少邊數的封閉圖形（只用三條邊）
2. 三點必定共面（不會扭曲）
3. 唯一不可變形的多邊形（剛性）
這三個特質，讓它撐起 GPS、遊戲、橋樑、與整個宇宙的測量。
★ 基本
★★ 進階
★★★ 挑戰
看一張鐵軌延伸向遠方的照片：兩條鐵軌明明是平行的，為什麼看起來「越來越靠近」，最後好像在遠方「相交」於一點？
這個看似簡單、甚至有點幼稚的問題 ── 其實困擾了人類兩千多年，最後還牽扯出愛因斯坦的相對論與你口袋裡的 GPS。本章我們要看：
| 角的關係 | 性質 | 位置 |
|---|---|---|
| 同位角 | 相等 | 截線同側、平行線同方位 |
| 內錯角 | 相等 | 截線兩側、兩平行線之間 |
| 同側內角 | 互補（和 180°） | 截線同側、兩平行線之間 |
| 外錯角 | 相等 | 截線兩側、兩平行線之外 |
當兩平行線之間有鋸齒折線時，關鍵技巧是「過轉折點作平行線」：
過轉折點 P 作一條平行於兩平行線的輔助線，
把轉折角拆成「上下兩個內錯角」。
練習：若折線與上線夾 35°、與下線夾 42°，求轉折角（答案：77°）。
我們說「同位角相等所以兩線平行」，但為什麼？這其實建立在歐幾里得的「第五公設」上。下一節揭開這個兩千年的故事。
歐幾里得《幾何原本》的前四條公設都很簡短、很「顯然」。但第五條：過直線外一點，恰好能作「一條」與該直線平行的線。
前四條公設，你閉上眼睛就能想像、立刻接受。
但第五條提到「無限延伸後是否相交」── 而我們永遠無法真正「看到無限遠處」。
你怎麼知道兩條看似平行的線，在一兆光年之外，不會悄悄相交呢？
連歐幾里得本人都覺得它怪 ── 他盡量拖延，直到第 29 個命題才不得已用上它。
義大利神父數學家薩凱里，1733 年用「反證法」──
他假設「第五公設是錯的」（過線外一點有不只一條平行線），想推出矛盾。
他不斷推導，推出了一大堆「奇怪但毫無矛盾」的結論。
他其實「已經發現了非歐幾何」！
但薩凱里被自己的「常識」綁架了。他硬說這些奇怪結論「違反直覺，所以一定是矛盾」，
然後宣稱自己「證明了第五公設」。他離真理只差一步，卻因為缺乏勇氣而錯過了。
拿一個地球儀，看上面的「經線」。它們在赤道附近看似平行，但最後都在南北極「相交」！這代表：在球面上，根本沒有真正的平行線。
| 性質 | 歐氏（平面） | 雙曲（馬鞍面） | 橢圓（球面） |
|---|---|---|---|
| 過線外一點的平行線 | 恰一條 | 無限多條 | 零條 |
| 三角形內角和 | = 180° | < 180° | > 180° |
| 曲率 | 零（平的） | 負（向內凹） | 正（向外凸） |
| 發現者 | 歐幾里得 | 羅巴切夫斯基、鮑耶 | 黎曼 |
在赤道上取兩點，各作一條「向北的經線」到北極。
這兩條經線 + 赤道的一段，圍出一個「球面三角形」。
量這三角形的內角和：北極角 + 兩個赤道直角（各 90°）> 180°！
例如：90° + 90° + 90° = 270°，遠大於 180°。這就是橢圓幾何。
● 高斯（德國）：最早想到，但因為害怕被嘲笑（怕聽到「愚人的叫囂」），終生不敢發表。
● 羅巴切夫斯基（俄國）：1829 年正式發表雙曲幾何，被學界譏笑、排擠，鬱鬱而終。
他被後世稱為「幾何學界的哥白尼」。
● 鮑耶（匈牙利）：1831 年獨立發表。當他得知高斯早就想到卻沒發表時，深受打擊。
1854 年，黎曼創立「黎曼幾何」，把所有彎曲空間統一起來。
這場演講，60 年後成為愛因斯坦相對論的數學基礎。
三種幾何在邏輯上都完全自洽。哪個「正確」取決於「空間實際上是平的還是彎的」── 這個答案要等到 1915 年愛因斯坦才揭曉。
中世紀的畫作看起來「很平、很假」，因為畫家不懂透視。
直到 15 世紀，義大利建築師布魯內萊斯基發現了「線性透視法」──
所有「實際平行」的線，在畫面上會交於一個點，叫「消失點」。
達文西、拉斐爾等大師都是透視法的高手。他們其實是在「用幾何學作畫」。
17 世紀法國數學家笛沙格規定「平行線交於無窮遠點」，創立「射影幾何」。
● 3D 遊戲把立體場景「投影」到 2D 螢幕，用的就是射影幾何
● 相機把三維世界拍成二維照片，也是射影
● 擴增實境（AR）、虛擬實境（VR）都依賴射影幾何
文藝復興畫家的透視技法，五百年後成為你手機相機與遊戲引擎的數學基礎。
● 歐氏幾何：平行線永不相交（恰一條平行線）
● 雙曲幾何：有無限多條平行線
● 橢圓幾何：沒有平行線（必相交）
● 射影幾何：平行線交於無窮遠點
數學的「真理」，取決於你選擇的「規則（公設）」。改變公設，就創造一個新世界。
光，會不會「轉彎」？ 1915 年，愛因斯坦提出顛覆性想法：「空間本身是彎的！而且是被「重力」彎曲的！」
想像一張繃緊的彈性橡皮膜，代表「空間」：
● 放一顆保齡球（太陽）在中央 → 橡皮膜「凹下去」
● 再放一顆小彈珠（地球）在旁邊 → 它沿著凹陷「滾向」保齡球
愛因斯坦說：這就是重力的真相！太陽的質量「彎曲了周圍的空間」，
地球只是沿著彎曲空間中的「最短路徑」運動。
在這個彎曲的空間裡，歐幾里得的第五公設不再成立！這正是黎曼 1854 年那場演講描述的「彎曲空間」。
愛因斯坦預測：遙遠星光經過太陽附近時，會被太陽彎曲的空間「偏折」。
1919 年，英國天文學家愛丁頓在日全食時拍攝太陽附近的星星。
結果 ── 星光的位置真的偏移了，與愛因斯坦的預測完全吻合！
愛因斯坦一夜之間成為全球巨星。《泰晤士報》頭條：「牛頓的觀念被推翻」。
你手機的 GPS 依賴 24 顆衛星。這些衛星在高空，
那裡的「時空彎曲程度」與地面不同（時間流逝較快）。
如果不用廣義相對論修正，GPS 每天會累積約 10 公里的誤差！
如果沒有愛因斯坦的彎曲時空理論，你的導航會把你導到 10 公里外的地方。
非歐幾何，每天都在你的口袋裡運作。
★ 基本
★★ 進階
★★★ 挑戰
一般四邊形、梯形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形 ── 這些四邊形之間，其實藏著一個「家族關係」，就像生物的分類一樣。本章我們要看：
一般四邊形
├─（一組對邊平行）→ 梯形
└─（兩組對邊平行）→ 平行四邊形
├─（一內角 90°）→ 矩形
└─（鄰邊相等）→ 菱形
矩形 + 菱形 → 正方形
正方形是最特殊的四邊形 ── 它同時是矩形（有直角）又是菱形（四邊等長）。
| 性質 | 平行四邊形 | 矩形 | 菱形 | 正方形 |
|---|---|---|---|---|
| 對邊平行且相等 | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
| 對角線互相平分 | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
| 四個角都是直角 | ✗ | ✓ | ✗ | ✓ |
| 四邊等長 | ✗ | ✗ | ✓ | ✓ |
| 對角線相等 | ✗ | ✓ | ✗ | ✓ |
| 對角線互相垂直 | ✗ | ✗ | ✓ | ✓ |
● 矩形的對角線「相等」
● 菱形的對角線「垂直」
● 正方形兩者兼具
另外注意：數學上「正方形是一種特殊的矩形」──
雖然日常語言把兩者當成不同的東西，但數學要用「定義」思考，而非「直覺」。
你在向東流的河上划船：河水把你往東推（每秒 3 公尺），你向北划（每秒 4 公尺）。你的船實際往哪走？──往東北方（偏北約 53 度），速度每秒 5 公尺（因為 3²+4²=5²）！這個「把兩個方向的運動合起來」的數學，叫「向量加法」，它的幾何形象正是「平行四邊形」。
【三角形法則】
1. 畫第一支箭頭（向東 3 格）
2. 從它的尖端接著畫第二支箭頭（向北 4 格）
3. 從起點到終點畫一支新箭頭 → 這就是「和向量」
【平行四邊形法則】
把兩支箭頭從「同一起點」畫出，補成平行四邊形，
從起點畫出的對角線就是「和向量」。
兩種方法得到的結果完全一樣！平行四邊形的對角線 = 兩向量的和。
請準備兩支彈簧秤、棉線、砝碼：
1. 用兩支彈簧秤，從不同方向拉住一個結點（綁砝碼）
2. 記錄兩個力的大小與方向（畫成兩支箭頭）
3. 用平行四邊形法則畫出「合力」
4. 驗證：合力是否與砝碼的重力平衡？
古希臘的亞里斯多德（西元前 4 世紀）就已經知道「兩個力的效果等於平行四邊形的對角線」。
但把「向量」變成一個可以「加、減、乘」的數學工具，要等到 19 世紀。
1843 年，愛爾蘭數學家哈密頓（就是上冊第二章在橋上刻字的那位）
發明「四元數」時，創造了「向量」（vector）這個詞。
平行四邊形法則，從亞里斯多德的「物理觀察」，花了兩千多年，才變成哈密頓的「數學工具」。
如果只知道兩條鄰邊的「向量」(a, b) 和 (c, d)，平行四邊形的面積是：
我們把這四個數字排成方塊，就是「矩陣」。它會把單位正方形「變換」成平行四邊形，而 ad − bc 這個數字叫「行列式」，恰好就是變換後的面積！
1. 畫單位正方形，頂點 (0,0), (1,0), (1,1), (0,1)
2. 用矩陣 [[2, 1], [0, 2]] 變換：(x, y) → (2x + 1y, 0x + 2y)
(0,0)→(0,0) (1,0)→(2,0) (1,1)→(3,2) (0,1)→(1,2)
3. 連接新四點，畫出平行四邊形
4. 計算行列式 = 2×2 − 1×0 = 4
5. 數格子驗證：平行四邊形面積確實是 4！
● 如果行列式是 4，代表面積放大 4 倍
● 如果行列式是 0 → 平行四邊形被「壓扁成一條線」，面積為零！
這時矩陣「不可逆」，是線性代數最重要的概念之一。
這正是上冊第二章說的「矩陣是函數家族的進化版」的具體展現。
● Photoshop「自由變形」：縮放、旋轉、傾斜、平移都是矩陣對單位正方形的變換
● 3D 遊戲與動畫：角色的骨骼動畫用矩陣作「仿射變換」
● 機器人手臂：每個關節的轉動用矩陣表示
● 電腦斷層掃描（CT）：用矩陣運算重建人體斷面影像
為什麼浴室磁磚常是正方形或六角形，卻很少看到正五角形磁磚？「密鋪」的關鍵：在每個頂點，所有圖形的內角加起來必須恰好是 360°。
| 正多邊形 | 每個內角 | 360° ÷ 內角 | 能否密鋪 |
|---|---|---|---|
| 正三角形 | 60° | 6（整數） | ✓ 能 |
| 正方形 | 90° | 4（整數） | ✓ 能 |
| 正五邊形 | 108° | 3.33…（非整數） | ✗ 不能 |
| 正六邊形 | 120° | 3（整數） | ✓ 能 |
| 正七邊形以上 | >120° | <3（非整數） | ✗ 不能 |
只有三種正多邊形能單獨密鋪：正三角形、正方形、正六邊形。正五邊形的內角 108° 無法整除 360°，所以一定有縫隙 ── 這就是為什麼沒有正五角形磁磚！
為什麼蜜蜂偏偏選六邊形？因為在「周長相同」的情況下，六邊形圍出的面積最大；
或者說，要圍出相同面積，六邊形用的蜂蠟最少。
蜜蜂用最少的蜂蠟，蓋出最大的儲蜜空間 ── 這是大自然的「最佳化」智慧！
這個直覺古希臘人就提出了，但要「嚴格證明」竟然等到 1999 年，
才由美國數學家黑爾斯完成，史稱「蜂窩定理」。
一個蜜蜂「天生就會」的事，人類花了一千六百年才證明！
荷蘭藝術家艾雪（M.C. Escher）用「會變形的鳥、魚、蜥蜴」鋪滿平面：
1. 取一個正方形
2. 從一邊「剪下」一塊，貼到對邊（平移）
3. 重複此操作，創造一個「奇形怪狀但能密鋪」的形狀
4. 用這個形狀密鋪，並把每一塊畫成動物或圖案
密鋪圖案有三種對稱：平移對稱、旋轉對稱、鏡射對稱。
數學家證明：平面上的「重複性密鋪」總共只有 17 種對稱類型，稱為「壁紙群」。
無論你看到多複雜的磁磚、壁紙、布料花紋，它的對稱結構一定是這 17 種之一。
這是「群論」（上冊第三章提過）在藝術中的應用。
上一節我們說，正五邊形「不能」密鋪，五重對稱在密鋪中是「禁止」的。但如果有一種密鋪，永遠不重複呢？1970 年代，一位英國數學家做到了。
1974 年，英國數學物理學家羅傑·潘洛斯發現了一組神奇的磁磚。
他只用「兩種菱形」── 一種「胖菱形」、一種「瘦菱形」──
就能鋪滿整個平面，但是「永遠不會週期性重複」！這叫「非週期密鋪」。
潘洛斯磚中，胖菱形與瘦菱形的數量比，恰好趨近黃金比例 φ ≈ 1.618！
上冊第三章我們學的黃金比例，竟然在這裡再次出現。
黃金比例、費氏數列、潘洛斯密鋪，其實是「同一個現象的不同面貌」。
潘洛斯磚原本只是「純數學遊戲」。直到 1982 年 4 月 8 日 ──
以色列科學家舍特曼在電子顯微鏡下，看到一個「五重對稱」的晶體！
但晶體學的鐵律說：五重對稱是「不可能」的。
他被全世界化學家排斥，被趕出研究團隊。
連兩度諾貝爾獎得主鮑林都嘲笑他：「沒有準晶體，只有準科學家！」
但舍特曼堅持。他發現的「準晶體」原子排列，正好對應潘洛斯磚的數學結構！
29 年後，2011 年，舍特曼獨自獲得諾貝爾化學獎。當年嘲笑他的人，都錯了。
2007 年，哈佛大學科學家研究伊朗中世紀清真寺，發現 ──
15 世紀的伊斯蘭工匠，早就在清真寺的花磚上，用了潘洛斯式的準週期密鋪！
伊斯蘭工匠（1453）→ 潘洛斯（1974）→ 舍特曼準晶體（1982）→ 諾貝爾獎（2011），
是同一個數學主題，跨越 500 多年，在藝術、數學、物理三個領域反覆出現。
而羅傑·潘洛斯本人，也因「黑洞」研究於 2020 年獲得諾貝爾物理獎。
● 不沾鍋塗層：準晶體表面摩擦力極低、不易沾黏
● 高強度合金：用於手術器械、刮鬍刀片
● 隔熱材料：準晶體導熱性低
從伊斯蘭花磚到你家的不沾鍋 ── 這就是純數學如何意外地改變世界。
★ 基本
★★ 進階
★★★ 挑戰
親愛的同學，恭喜你完成了上下兩冊的旅程。
從上冊的等差級數、函數、尺規作圖，到下冊的三角形、平行線、四邊形 ── 你已經走過了八年級下學期數學的全部六章，而且走得比課本深得多、遠得多。
第一章「累加的力量」：等差級數 → 複利、自由落體、演算法 → 微積分的積分
第二章「對應的奧秘」：函數 → 解析幾何、向量、矩陣 → AI 的核心語言
第三章「規則中的自由」：尺規作圖 → 三大難題、黃金比例 → 準晶體諾貝爾獎
第四章「最穩固的形狀」：三角形 → 五心、歐拉線 → GPS、3D 遊戲、橋樑、宇宙測量
第五章「質疑的勇氣」：平行線 → 第五公設、非歐幾何 → 愛因斯坦時空與你口袋裡的 GPS
第六章「圖形的進化」：平行四邊形 → 向量、矩陣、密鋪 → 潘洛斯磚與準晶體的諾貝爾獎傳奇
如果你仔細讀完六章，你會發現 ── 這六章其實彼此交織，是同一張巨大數學網的不同節點：
數學不是六個孤立的章節，而是一個彼此呼應、層層交織的整體。這正是數學最深刻的美。
讀完這兩冊，你或許不會記得所有的公式與細節。沒關係。重要的是這趟旅程在你心中種下的東西：
數學，是人類送給自己最珍貴的禮物之一。而你，已經收下了這份禮物。願你帶著這份對數學之美的感動，繼續前行。
── 你的數學老師 敬上